Question

已知函数是函数的极值点，其中

是自然对数的底数．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）直线同时满足：

① 是函数的图象在点处的切线，

② 与函数的图象相切于点．

求实数b的取值范围.

Answer

（Ⅰ）a =1（Ⅱ）①②

【解析】(1)根据建立关于a的方程，解出a值；

（2）根据条件（1）可确定l:

根据条件(2) 直线与函数的图象相切于点，

,切线的方程为

即的方程为：

然后根据两个方程为同解方程可得到方程组

然后转化为,利用导数确定其值域即可.

【解析】
（Ⅰ）

……………2分

由已知，

得a =1 ………4分

（Ⅱ）时，

       函数的图象在点处的切线的方程为：……6分

直线与函数的图象相切于点，

又，所以切线的斜率为

故切线的方程为

即的方程为： ……………………8分               

得 …………………10分

所以实数b的取值范围是……………………………………………15分