Question

已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，

（1）求证：OA⊥OB；

（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,进而求出b，问题解决.

（II）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为

然后与抛物线方程联立，消去y转化为,

借助韦达定理证明即可.

斜率不存在的情况要单独考虑.

(2) 设、，直线的方程为，代入，得．于是．

，．可得．

再证明原点到直线的距离为定值

【解析】
（Ⅰ）由得，故． ………………………3分

所以，所求椭圆的标准方程为 ……………………………4分

（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为……………5分

代入抛物线方程整理得

设点A（）点B（），则，………7分

所以 ……………………………………………9分

若直线斜率不存在，则A（4,4）B（4，-4），同样可得…………10分

（2）设、，直线的方程为，代入，得．于是．从而，．得．∴原点到直线的距离为定值…15分