Question

（本小题满分15分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥，则称为弦的伴随切线。特别地，当，时，又称为的λ——伴随切线。

（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。

Answer

（Ⅰ）当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。（Ⅱ）见解析        

【解析】（Ⅰ）  

当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值。        当时，令，得。

当变化时，与变化情况如下表：

＋

0

－

单调递增

极大值

单调递减

∴当时，取得极大值。

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。          

（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。

∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。    …………………8分

以下证明方程在内有解。…

记，则。

令，

∴，

∴在内是减函数，∴。

取，则，即。……9分

同理可证。∴。

∴函数在内有零点。

即方程在内有解。又对于函数取，则

可知，即点Q不在上。

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

证明如下：

设是曲线C上任意两点，

则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。  

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲

线，没有给出正确的证明，请酌情给分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。  ∵，即证存在，使得，

即成立，且点不在上。 ……………  8分

以下证明方程在内有解。

设。…

则。

记，

∴，

∴在内是增函数，

∴。   同理。。

∴方程在内有解。 又对于函数，

∵，，

可知，即点Q不在上。

又在内是增函数，

∴方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

（ⅱ）同解法一。