Question

甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数、及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险.

(1)请解释的实际意义；

(2)当时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能地少投入宣传费用，问此时甲、乙两公司应各投入多少宣传费用？

Answer

(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少投入f(0)万元的宣传费；g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费.

    (2)在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入20万元，乙公司至少投入24万元.

【解析】(1) 弄清题意清楚知道x表示投入的宣传费用，f(0)表示没有投入宣传费用，乙公司要回避失败的风险，至少投入f(0)万元的宣传费；同理也就明白g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费.

(2)首先要搞清楚什么情况下才没有失败的危险，是解决好本小题的关键.将甲公司投入的宣传费用用x来表示，乙公司投入的宣传费用用y来表示，只有当y≥f(x)=x+4时，乙公司无失败的风险.同理，当时，甲公司无失败的风险.然后作出不等式组表示的可行域，再利用线性规则的知识求解即可.

【解析】
(1)f(0)表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险，至少投入f(0)万元的宣传费；g(0)表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险，至少要投入g(0)万元的宣传费.

    (2)将甲公司投入的宣传费用用x来表示，乙公司投入的宣传费用用y来表示，依题意，当y≥f(x)=x+4时，乙公司无失败的风险.

    当时，甲公司无失败的风险,即，

    如图所示，阴影部分区域表示甲、乙两公司均无失败的风险.

    由解得

    故在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少投入20万元，乙公司至少投入24万元.