Question

已知是函数的一个极值点，其中，

（1）求与的关系式；        

（2）求的单调区间；

（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围.

Answer

 (1) ；（2）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（3）

【解析】

根据导数在函数中的应用，x=1时，导数为0 ，,即；

（2）由，求的单调区间时，减少变量，解析式是，分类讨论导数为正、负时的x范围；

函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于即从而，转化为二次函数定区间动轴问题。

【解析】
(1)因为是函数的一个极值点,

所以,即，所以

（2）由（1）知，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有上表知，当时，在单调递减，

在单调递增，在上单调递减.

（3）由已知得，即

又所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以解之得

又

所以

即的取值范围为