Question

（本小题满分16分）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当函数在区间上的最小值为时，求实数的值；

（3）当时，若函数与的图像有三个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer

（1）； (2)  ；（3）   . 

【解析】

要求函数在点处的切线方程，先求，即确定的点，在求3处的导数，即斜率；

求函数在区间上的最小值为时，一般先求函数在区间上的单调性，在确定在某处取得最小值；

将函数与的图像有三个不同的交点，转化为有三个不同的根，即有三个不同的根   设  与x轴有3个交点。

【解析】
（1）由题知   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

                                ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

                                 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

曲线在点处的切线方程为.┈┈┈┈┈┈1分

(2)由题知                   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的或

①    时      即   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

② 当时         

    不符合             ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

③ 当时    当时     

当时      

即   不符合                       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

综上知：                           ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（3）由题知有三个不同的根，即有三个不同的根   设   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

令的  或               ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

     当时 ；当时 ；

当时        ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

  即         ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分