Question

在中，满足,是边上的一点.

（Ⅰ）若,求向量与向量夹角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m为正常数) 且是边上的三等分点.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

Answer

（Ⅰ）；

(Ⅱ)（1）当时，则=；

（2）当时，则=；

（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ），可得,是等腰直角三角形，令=；

（Ⅱ），，,

利用30°的直角三角形的性质令=m所以，，是边上的三等分点.分类讨论：或；

（Ⅲ）注意到，是解题的关键，，求通常用平方的方法。

（Ⅰ）【解析】
设向量与向量的夹角为，则

令=，得，又，则为所求……………2分

(Ⅱ)【解析】
因为，=m所以，

（1）当时，则=；--2分

（2）当时，则=；---2分

（Ⅲ）【解析】
设,因为，；

所以即于是得

从而---2分

==

=…………………………………2分

令，则，则函数，在递减，在上递增，所以从而当时，………………2分