Question

（本小题满分15分）设为数列的前项和，（为常数且，）.

(Ⅰ)若，求的值；

（Ⅱ）对于满足（Ⅰ）中的，数列满足，且.若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）因为，

所以，，.………4分

由可知：.         

所以，，.

因为，   所以.

所以.          ……7分

（Ⅱ）因为，   所以.     

所以，即.…………9分

因为，即.        可得：.      ………10分

因为，且，

所以

      . ……………12分

因为不等式对任意恒成立，

所以对任意恒成立.  ……………13分

因为，且时，取得最大值，

所以. 所以的取值范围是.           ………15分

【解析】(1)先求出,进而求出,,再根据,建立关于的方程求解即可.

(II)在（I）的基础上，,然后根据此式，可求得，从而求出,

采用叠加的方法求得,

从而把不等式对任意恒成立转化为对任意恒成立的常规问题解决.

【解析】
（Ⅰ）因为，

所以，，.………4分

由可知：.         

所以，，.

因为，   所以.

所以.          ……7分

（Ⅱ）因为，   所以.     

所以，即.…………9分

因为，即.        可得：.      ………10分

因为，且，

所以

      . ……………12分

因为不等式对任意恒成立，

所以对任意恒成立.  ……………13分

因为，且时，取得最大值，

所以. 所以的取值范围是.           ………15分