Question

（本小题满分14分）设数列是首项为0的递增数列，，

 满足：对于任意的总有两个不同的根. (Ⅰ)试写出，并求出；

(Ⅱ)求，并求出的通项公式；

(Ⅲ)设，求.

Answer

（Ⅰ）  ；（Ⅱ）；(Ⅲ)∴.

【解析】(1) ∵,当时,,. 又∵对任意的,总有两个不同的根,∴.

(2) 类比（Ⅰ）中a2的求法，可知,,从而归纳出，    .

(3) 分两种情况：，和，分别求解.

【解析】
（Ⅰ）∵,当时,,,

         又∵对任意的,总有两个不同的根,∴

∴，   

（Ⅱ）由（Ⅰ）,

      ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴

      ∵对任意的,总有两个不同的根, ∴ 

由此可得，   

(Ⅲ)当，

∴  

当，

∴