Question

已知函数,，其中R．

    （Ⅰ）当a=1时判断的单调性；

    （Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

    （Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）.

【解析】(I)先求出,显然在定义域内，导数恒大于零.

所以f(x)在内是增函数.

（II）解本题的关键是,因为在其定义域内为增函数，所以，

        (III)解本题的关键是分析出“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”.

【解析】
（Ⅰ）的定义域为，且>0    所以f(x)为增函数.     

（Ⅱ），的定义域为

因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以      

（Ⅲ）当时，，

由得或

当时，；当时，．

所以在上，  

而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为

所以有            

，所以实数的取值范围是