已知函数
，其中
.
（1）若
在
处取得极值，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）讨论函数在
的单调性；
（3）若函数在
上的最小值为2，求
的取值范围.
【解析】第一问，
因在处取得极值
所以，
，解得
，此时
，可得求曲线在点
处的切线方程为：
第二问中，易得
的分母大于零，
①当
时，
，函数在上单调递增；
②当
时，由可得
，由
解得
第三问，当时由（2）可知，在上处取得最小值
，
当时由（2）可知在
处取得最小值
，不符合题意.
综上，函数在上的最小值为2时，求的取值范围是
在数列
中，
记
（Ⅰ）求
、
、
、
并推测
；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.
【解析】第一问利用递推关系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二问中，①当
时，
=
，又，猜想正确
②假设当
时猜想成立，即
，
当
时，
=
=
，即当时猜想也成立
两步骤得到。
（2）①当时，=，又，猜想正确
②假设当时猜想成立，即，
当时，
=
=，即当时猜想也成立
由①②可知，对于任何正整数
都有成立
在平面直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
点
是曲线上的动点.
（1）求线段
的中点
的轨迹的直角坐标方程；
（2） 以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线
的极坐标方程为
，求点到直线距离的最大值.
【解析】第一问利用设曲线上动点
，由中点坐标公式可得
所以点的轨迹的参数方程为
消参可得
第二问，由题可知直线的直角坐标方程为
，因为原点到直线的距离为
，
所以点到直线的最大距离为
求曲线
及直线
，
所围成的平面图形的面积.
【解析】本试题主要是考查了定积分的运用。
【解析】
做出曲线xy=1及直线y=x，y=3的草图，则所求面积为阴影部分的面积
解方程组 
得直线y=x与曲线xy=1的交点坐标为（1，1）
同理得：直线y=x与曲线y=3的交点坐标为（3，3）
直线y=3与曲线xy=1的交点坐标为（
，3）………………3分
因此，所求图形的面积为
某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第
个图形包含
个小正方形.
则的表达式为 .
直线
(t为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是___________.
