Question

已知椭圆的离心率，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足         （1）求椭圆C的方程；

    （2）是否存在直线，当直线交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为的垂心（三角形三条高的交点）？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）当时，△不存在，故舍去．

当时，所求直线存在，且直线的方程为．

【解析】第一问中利用根据题意得，，，，

，，

，又，

第二问中，假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，

设，

因为，，故．                     …………7分

于是设直线的方程为，

由得，结合韦达定理并由题意应有，又，得到结论。

【解析】
根据题意得，，，，

，，

，又，

故椭圆方程为．                    …………5分

（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，

设，

因为，，故．                     …………7分

于是设直线的方程为，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由题意应有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………11分

经检验，当时，△不存在，故舍去．

当时，所求直线存在，且直线的方程为．

                                                     …………12分