Question

（理） 已知，其中是自然常数，[

（1）讨论时, 的单调性、极值；

（2）求证：在（Ⅰ）的条件下，;

（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）当时，f(x)单调递减；当，f(x)单调递增 ；极小值为f(1)=1  ；

（2）  ；（3）    .

【解析】第一问中利用导数，然后对x讨论，因为x>0，那么分为两段讨论得到函数的单调性，和极值。

【解析】
（Ⅰ） ……1分

∴当时，，此时f(x)单调递减

当时，，此时f(x)单调递增    ……3分

∴f(x)的极小值为f(1)=1                         ……4分

（Ⅱ） f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e】上的最小值为1，

∴，                   ……5分

令 ……6分

当时，，在(0,e】上单调递增  ……7分

∴ 

∴在（1）的条件下，           ……9分

（Ⅲ）假设存在实数a，使（）有最小值3，

                      ……10分

①    当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.             ……12分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，满足条件.  ……13分

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.

…………………………………………………………………………………………………….14分