Question

（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：.

Answer

（1） （2）   见解析；

【解析】第一问中利用：设椭圆C的方程为 （＞＞）

抛物线方程化为，其焦点为， 

则椭圆C的一个顶点为，即      

由，∴

第二问中，易求出椭圆C的右焦点，

设，由题意，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为 ，代入方程 并整理，

得      

借助于韦达定理和向量关系得到坐标关系，消元法求解得到

（1）【解析】
设椭圆C的方程为 （＞＞），……1分

抛物线方程化为，其焦点为，  ………………2分

则椭圆C的一个顶点为，即       ………………3分

由，∴，

所以椭圆C的标准方程为         ………………6分

（2）证明：易求出椭圆C的右焦点， ……………7分

设，由题意，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为 ，代入方程 并整理，

得            …………9分

∴，           ………………10分

又，，，，，而 ， ，

即，

∴，，             ……………………12分

所以  ………14分