Question

(14分)设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer

（1）的最大值为； (2)  ；（3） .                                                 

【解析】第一问利用当时，

解得或（舍去）  当时，，单调增加，

当时，，单调减少得到最值

第二问中，

由恒成立得恒成立    

因为，等号当且仅当时成立      

所以

第三问中，时，方程即

设，解

得(<0舍去)，

在单调增加，在单调减少，最大值为

因为有唯一实数解，有唯一零点，所以

最后求解得到。

【解析】
（1）当时，   ……1分

解得或（舍去）               ……2分

当时，，单调增加，

当时，，单调减少                ……3分

  所以的最大值为                              ……4分

(2)  ……6分

由恒成立得恒成立       ……7分

因为，等号当且仅当时成立          ……8分

所以                                                 ……9分

（3）时，方程即

设，解

得(<0舍去)，

在单调增加，在单调减少，最大值为    ……11分

 因为有唯一实数解，有唯一零点，所以  ……12分

由得，

因为单调递增，且，所以         ……13分

从而                                                     ……14分