Question

在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，。

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值的大小。（12分）

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】第一问中，利用线面垂直的判定定理求证。在中，由题设PA=2，AD=2，

PD=，可得，于是

在矩形ABCD中，，又

，从而得到结论。

第二问中，过点P作于H，过点H作于E，

连接PE，又因为平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE为PE在平面ABCD内的射影，，从而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角，然后借助于三角形求解得到。

【解析】
（I）在中，由题设PA=2，AD=2，

     PD=，可得，

于是，……….2分，

在矩形ABCD中，，又….4分，

  所以平面PAB。……….6分，

（II）如图所示，过点P作于H，过点H作于E，

连接PE，……….7分，

因为平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE为PE在平面ABCD内的射影，，……….8分，

从而是二面角P-BD-A的平面角。……….9分，

由题设可得，，

，……….10分，

由～得

，于是在中，

，….11分，

所以二面角P—BD—A 的正切值的大小为。………….12分