Question

 如图，在四面体中，平面平面，，，。

（Ⅰ）若，，求四面体的体积；

（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值。（12分）

Answer

（1）；（2）.

【解析】第一问中，利用求解体积知道高和底面积即可。因为设F为AC的中点，由于AD=CD，所以，故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，再利用由勾股定理易知，得到体积。

第二问中，设G、H分别为边CD、BD的中点，则FG//AD，GH//BC，

从而是异面直线AD与BC所成的角或补角设E为边AB的中点，则EF//BC，由知，又由（1）有平面ABC，故由三垂线定理知，

所以为二面角C—AB—D的平面角，由题设知，设AD=a，则，在中，

从而，因为，故，

从而，在中，，又，从而在中，因再利用余弦定理求解得到异面直线所成的角。

【解析】
（I）如图，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以，

故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，

即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且=1，……….2分，

，在中，

因，，

由勾股定理易知，

故四面体ABCD的体积………….4分

（II）如图，设G、H分别为边CD、BD的中点，则FG//AD，GH//BC，

从而是异面直线AD与BC所成的角或补角。……….6分，

设E为边AB的中点，则EF//BC，由知，

又由（1）有平面ABC，故由三垂线定理知，

所以为二面角C—AB—D的平面角，

由题设知，……….8分，

设AD=a，则，在中，，

从而，因为，故，从而，在中，，又，从而在中，因，由余弦定理得，

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为。…….12分