Question

（本题16分）已知函数，其中e是自然数的底数，，

（1）当时，解不等式；

（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围；

（3）当时，试判断：是否存在整数k，使得方程在

   上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由。

Answer

（1）；（2）；（3）存在唯一的整数。

【解析】

因为所以，取根的中间；

即不等式恒成立，分类讨论：

且时，

数形结合：

如图：

若，

，

若，如图：

（1）方程在

   上有解，需判断函数在上的单调性，数形结合。

（1） 即，由于，所以

所以解集为；

（2）当时，即不等式恒成立，

       ①若，则，该不等式满足在时恒成立；

       ②由于，

       所以有两个零点，

       若，则需满足    即，此时无解；

       ③若，则需满足，即，所以，

    综上所述，a的取值范围是。

（3）方程即为，设，

        由于和均为增函数，则也是增函数，

        又因为，，

        所以该函数的零点在区间上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有

        一个零点，所以方程有且仅有一个根，且在内，所以存在唯

        一的整数。