Question

（本题满分15分）

把正整数按从小到大顺序排列成下列数表，数表中第行共有个正整数：

    设是位于数表中从上往下数第行、从左往右数第个数

（1）若，求的值；

（2）记，求数列的通项公式；

（3）猜想与的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1） 

（2）              

（3）猜想：当时，；当时，    

证明：（法一）二项式定理的应用                       

（法二）数学归纳法

【解析】第一问，利用已知的数字可知到第行共有个数

时，

    时，

    所以，

第二问中，

，累加法得到

第三问中，

        时，

        时，

        时，

        时，

猜想：当时，；当时，并用数学归纳法得证。

解:（1）到第行共有个数

    时，

    时，

    所以，                （3分）

（2）

由叠加可得                  （3分）

（3）

        时，

        时，

        时，

        时，

猜想：当时，；当时，       （3分）

证明：（法一）二项式定理的应用                        （6分）

（法二）数学归纳法