Question

（15分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.

（Ⅰ）当时，若存在使得成立，求的取值范围；

（Ⅱ）求证：函数在内至少有一个零点；

（Ⅲ）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）函数在内至少有一个零点；（3）或.

【解析】第一问利用当时，==，其对称轴为直线，

当 ，解得，当，无解，

所以的的取值范围为

第二问中，法二：，，．

由于不同时为零，所以，故结论成立．

第三问中，)因为=为奇函数，所以, 所以，

又在处的切线垂直于直线，所以，即．

因为 所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，结合图像和极值点得到结论。

【解析】
（1）当时，==，其对称轴为直线，

当 ，解得，当，无解，

所以的的取值范围为．………………………………………………4分

（2）因为，

法一：当时，适合题意………………………………………6分

当时，，令，则，

令，因为，

当时，，所以在内有零点．

当时，，所以在（内有零点．

   因此，当时，在内至少有一个零点．

综上可知，函数在内至少有一个零点．……………………10分

法二：，，．

由于不同时为零，所以，故结论成立．

 (3)因为=为奇函数，所以, 所以，

又在处的切线垂直于直线，所以，即．

因为 所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，

当时，，即，解得；

当时， ，解得；

当时，显然不成立；

当时，，即，

解得；

当时，，故．

所以所求的取值范围是或．