Question

（本小题满分12分）

已知函数且导数.

（1）试用含有的式子表示，并求的单调区间；

（2）对于函数图象上不同的两点，且，如果在函数图像上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“相依切线”.特别地，当时，又称存在“中值相依切线”.试问：在函数上是否存在两点使得它存在“中值相依切线”？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）不存在点满足题意. 

【解析】(1)求导，根据，可得,然后根据可得

。函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）解本题的突破口是假设存在点满足条件,

则,整理得:,

令,则问题转化为方程:有根.

然后构造函数求导解决。

【解析】
(1)，，， …………… 1分   ，（舍去），，……… 2分 函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……………… 4分

(2) 假设存在点满足条件,

则,整理得:, ……………… 6分

令,则问题转化为方程:有根,

 设,,……………… 9分

 函数为上的单调递增函数,且,,

所以不存在使方程成立,

即不存在点满足题意.                          ……………… 12分