Question

(本小题满分14分)  设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer

（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为，极大值点

（Ⅱ）.

（Ⅲ）在区间上不存在使得成立的（）个正数….

【解析】（1）当时，求出的导函数，令，列表研究其单调性和极值；

（2）只要求出的最大值小于即可，求出函数的导数，研究单调性可得到的最大值就是其极大值，解不等式得的取值范围；

（3）时，，，要研究的单调性，记，其中.，即在上为增函数.又，所以，对任意的，总有，

.。故不存在。

【解析】
（Ⅰ）当时，，

令得到，列表如下：

＋

０

－

极大值

所以的单调增区间为，单调减区间为

极大值点

（Ⅱ），，.

      令，则.

       当时，；当时，.

      故为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=.

由题意有，解得.

     所以的取值范围为.

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数.又，

所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.

故在区间上不存在使得成立的（）个正数….