Question

(本小题满分14分)

设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，

试问：在区间上是否存在 （）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer

（Ⅰ）当时，，

令得到，列表如下：

＋

０

－

极大值

所以的的单调增区间为，单调减区间为…………５分

（Ⅱ），，.…………6分

      令，则.

       当时，；当时，.

      故为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=.……………………………8分

由题意有，解得.

所以的取值范围为.…………………………………………10分

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数. …………………………………………12分

又，

所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.

故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. ………………………14分

【解析】(I) 当时，，求其单调区间即可。

(II)利用导数研究其极值即可。

（III）解本题的关键在于当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

又，

所以，对任意的，总有.

【解析】
（Ⅰ）当时，，

令得到，列表如下：

＋

０

－

极大值

所以的的单调增区间为，单调减区间为…………５分

（Ⅱ），，.…………6分

      令，则.

       当时，；当时，.

      故为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=.……………………………8分

由题意有，解得.

所以的取值范围为.…………………………………………10分

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数. …………………………………………12分

又，

所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.

故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. ………………………14分