Question

已知函数．

 （1） 判断的奇偶性，并加以证明；

 （2） 设，若方程有实根，求的取值范围；

（3）是否存在实数m使得为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）为奇函数；（2）  ；（3）存在－2.                                             

【解析】第一问中利用奇偶函数定义进行判定，得到f(-x)=-f(x),所以说明

为奇函数

第二问中，因为方程在上有解

设对称轴

借助于二次函数得到。

第三问中，若存在这样的m，则

所以为常数，设

则对定义域内的x恒成立

转化思想的运用。

【解析】
（1）为奇函数

解得定义域为关于原点对称

，所以为奇函数       -------------4

（2）方程在上有解

设      对称轴

①即，则，无解

②即，则解得

综上                                                -------------10

法二：在有解，设，则

设，则，因为，当且仅当取“=“，所以值域为，所以

（3）若存在这样的m，则

所以为常数，设

则对定义域内的x恒成立

所以解得 

 所以存在这样的m=-2    -----------16