Question

如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer

（1）炮的最大射程是10千米。（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解

【解析】
（1）在中，令，得。

                  由实际意义和题设条件知。

                  ∴，当且仅当时取等号。

                  ∴炮的最大射程是10千米。

             （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，

                  即关于的方程有正根。

                  由得。

                此时，（不考虑另一根）。

               ∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。