Question

若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．

Answer

（1）。      （2）的极值点是－2    （3）当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

       （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

       （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点

【解析】
（1）由，得。

                ∵1和是函数的两个极值点，

                ∴ ，，解得。

           （2）∵ 由（1）得， ，

                ∴，解得。

                ∵当时，；当时，，

                ∴是的极值点。

                ∵当或时，，∴ 不是的极值点。

                ∴的极值点是－2。

（3）令，则。

 先讨论关于 的方程 根的情况：

当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵， ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时， ，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，

∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵， ，的图象不间断，

∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当 时

有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：

( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点