Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证：是定值．

Answer

见解析

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。

       （2）根据已知条件，用待定系数法求解

【解析】
（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由（1）得，，又∵∥，

    ∴设、的方程分别为，。

    ∴。

     ∴。①

    同理，。②

   （i）由①②得，。解得=2。

   ∵注意到，∴。

   ∴直线的斜率为。

  （ii）证明：∵∥，∴，即。

   ∴。

   由点在椭圆上知，，∴。

  同理。。

  ∴

  由①②得，，，

  ∴。

  ∴是定值。