Question

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

Answer

见解析

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出

【解析】
（1）∵，∴。

                ∴ 。∴   。

                ∴数列是以1 为公差的等差数列。

（2）∵，∴。

     ∴。（﹡）

     设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

     若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

                若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

                ∴综上所述，。∴，∴。

                又∵，∴是公比是的等比数列。

                若，则，于是。

                又由即，得。

                ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

                ∴。

                ∴