Question

如图，是圆的直径，为圆上位于

异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．

求证：．

Answer

见解析

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。

        本题还可连接，利用三角形中位线来求证

证明：连接。

              ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。

              ∴（垂直的定义）。

              又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。

              ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

              ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。

              又∵为圆上位于异侧的两点，

              ∴（同弧所对圆周角相等）。

              ∴（等量代换）。