Question

对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

    （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分）

    （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.

求证：（k=1,2,…,m）；（6分）

    （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，

求.

Answer

（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

  2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）见解析；（3）.

【解析】（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

                      2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.                        ……4分

    （2）因为，，

         所以.                                            ……6分

         因为，，

         所以，即.              ……8分

         因此，.                                          ……10分

    （3）对，；；

         ；.

         比较大小，可得.                             ……12分

     因为，所以，即；

                       ，即.

    又，

从而，，，.   ……15分

        因此

            =

            =

            ===.      ……18分