Question

已知等差数列前三项的和为，前三项的积为。

（1）   求等差数列的通项公式；

（2）若成等比数列，求数列的前项和

Answer

 （1），或.

（2）

【解析】考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算。

（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，

由题意得 解得或               

所以由等差数列通项公式可得，或.

故，或.                                         

（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；

当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.

故 

记数列的前项和为.

当时，；当时，；

当时， 

. 当时，满足此式.

综上， 

【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.