已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】【解析】令
.
当时
单调递减;当
时
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当时,
取最大值
.因此,当且仅当
时,①式成立.
综上所述,的取值集合为
.
(Ⅱ)由题意知,令
则
令,则
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.故当
,
即
从而,
又
所以因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使
即
成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值
对一切x∈R,f(x)
1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.[中国
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD
平面PAC,
而平面PAC,所以
.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而
.
由BD平面PAC,
平面PAC,知
.在
中,由
,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,
,所以
均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为
.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD
平面PAC,所以
是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由
算得体积
已知函数的部分图像如图5所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 |
1至4件 |
5至8件 |
9至12件 |
13至16件 |
17件及以上 |
顾客数(人) |
|
30 |
25 |
|
10 |
结算时间(分钟/人) |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)