Question

在平面直角坐标系中，已知双曲线.

    （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成

的三角形的面积；（4分）

    （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：

OP⊥OQ；（6分）

    （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，

求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

Answer

（1）；（2）见解析；（3）定值为.

【解析】[解]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.

         过点A与渐近线平行的直线方程为，即.

         解方程组，得.                      ……2分

         所以所求三角形的面积1为.              ……4分

    （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，

         故，即.                                      ……6分

         由，得.

         设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.

         又，所以

，故OP⊥OQ.        ……10分

    （3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.

      当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.

         由，得，所以.

同理.                                       ……13分

         设O到直线MN的距离为d，因为，

         所以，即d=.

         综上，O到直线MN的距离是定值.                         ……16分