Question

(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

Answer

（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）

【解析】（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）

当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan∠MBA=,即

化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）

综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分

(II)由方程消去y，可得。（*）

由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设

所以

解得，m>1,且m2

设Q、R的坐标分别为，由有

所以

由m>1，且m2，有

所以的取值范围是................................................ 12分

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。