Question

在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.

Answer

： （Ⅰ）

（Ⅱ）存在，点的坐标为

（Ⅲ）当时，的最小值为

【解析】：（Ⅰ）

如图，取的中点则,即

所以抛物线的方程为

（Ⅱ）

设存在点使得直线与抛物线相切于点

由得切线的斜率为直线的方程为

，代入得，

由得，

化简得

因是抛物线上位于第一象限内的点，所以

所以所求的点的坐标为

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

到直线的距离的平方为，

所以.

联立得

所以,

,

令由于，所以

设

.

当时，为增函数，

所以

即当时，的最小值为

【考点定位】本题通过抛物线和圆的性质确定抛物线方程，呈现出对基础知识的考查。并进一步把问题深化，考查了切线方程的求法，点到直线的距离公式，曲线的弦长运算等，最后通过导数工具求得结果,有很强的综合性，着力体现了能力考查