Question

已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.

Answer

：（Ⅰ）； 

（Ⅱ）的单调增为单调减区为.

（Ⅲ）见解析

【解析】：函数的定义域为

（Ⅰ），

由题意可知所以

（Ⅱ），

当时，，所以，

当时，，所以，

即的单调增为单调减区为

（Ⅲ）.

显然时，,

所以

要证，只须证，即.

下面 求的最小值.

当时当时

所以的最小值为

即.

命题得证.

【考点定位】本题考函数的单调性、导数及其应用、切线等知识，并对分类讨论思想、逻辑推理论证进行考查。第三问通过分析法使问题得证，并体现构造思想，是近几年来少有的考查方式