Question

若函数h(x)满足

（1）h(0)=1，h(1)=0；

（2）对任意，有h(h(a))=a；

（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数

（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；

（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为x_n，且，若对任意的，都有S_n< ,求的取值范围；

（3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

Answer

 见解析

【解析】（1）函数是补函数。证明如下：

①；

②；

③令，有，

因为，所以当时，，所以在（0，1）上单调递减，故函数在（0，1）上单调递减。

（2）   当，由，得： 

①当时，中介元；

②当且时，由（*）可得或；

得中介元，综上有对任意的，中介元（）

于是，当时，有=

当n无限增大时， 无限接近于， 无限接近于，故对任意的，成立等价于，即 ；

（3）   当时， ，中介元是

①当时， ，中介元为，所以点不在直线y=1-x的上方，不符合条件；

②当时，依题意只须在时恒成立，也即在时恒成立，设，，则，

由可得，且当时，，当时，，又因为=1，所以当时， 恒成立。

综上：p的取值范围为（1，+）。

【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想. 高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.