Question

如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ)．

【解析】(Ⅰ)由题：； (1)

左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)

由(1) (2)可解得：．∴所求椭圆C的方程为：．

(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

∵A，B在椭圆上，

∴．

设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，

代入椭圆：．

显然．

∴﹣＜m＜且m≠0．

由上又有：＝m，＝．

∴|AB|＝||＝＝．

∵点P(2，1)到直线l的距离为：．

∴SABP＝d|AB|＝，其中﹣＜m＜且m≠0．

利用导数【解析】
令，

则

当m＝时，有(SABP)max．

此时直线l的方程