Question

已知a＞0，bR，函数．

(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，

(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

Answer

(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) ．

【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)．

当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，∴令．

当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b为纵轴，a为横轴．

则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．

作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有，．

∴所求a＋b的取值范围为：．