Question

已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段  的中点分别为 ，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 作直线交椭圆于，，求直线的方程

Answer

：（Ⅰ）+=1（Ⅱ） 和

【解析】：：（Ⅰ）如答（20）图，设所求椭圆的标准方程为+=1（），

右焦点为因 是直角三角形且 ，故  为直角，从而，即  ，结合  得 。故  ，所以离心率  ，在 中，  故

由题设条件得 ，从而因此所求  椭圆的的标准方程为：+=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由题意，直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为，代入椭圆方程（*）

设  则 是上面方程的两根，因此

 又，

所以

由  ，知 ，即，解得

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为 和

【考点定位】本题考查椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题