Question

已知的前项和满足 ，其中（Ⅰ）求证： 首项为1的等比数列；（Ⅱ）若，求证：，并给指出等号成立的充要条件。

Answer

：（Ⅰ）（Ⅱ）当且仅当 或时等号成立

【解析】：（Ⅰ）由，即，

因，故，得 

 又由题设条件知，

  两式相减得 ，即  由 ，知  ，

因此综上对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。

（Ⅱ）当时，显然 ，等号成立

设 且，由（Ⅰ）知 ，所以要证的不等式化为 

即证：，当 时，上面不等式的等号成立

当 时， 与 同为负；当  时 

与  同为正，因此当 且  时，

总有，即

上面不等式对从1到 求各得

由此得

综上，当 且 时，有，当且仅当 或时等号成立。

【考点定位】本题考查了数列前n项和的概念，不等式恒成立问题，数学归纳法的应用，合理猜想与逻辑推理的概念．对不等式的考查有一定的难度，综合性较强，需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答，对数学归纳法的考查较深