Question

如图，在四棱锥中，，，且DB平分，

E为PC的中点，,                                 

（Ⅰ）证明 

（Ⅱ）证明

（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

Answer

证明见解析 (3)正切值为。

【解析】 （Ⅰ）要证明只需证明 E为PC的中点，在找一中点，构成中位线，得出平行；

（Ⅱ）证明，因为所以，

再找

BC在平面PBD内的射影，做垂线BH,也可证明，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。

证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又

,所以

（2）证明：因为，，所以

由（1）知，,故

(3)【解析】
由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。

由,

在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。