Question

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．

（Ⅰ）求数列的首项和公比；

（Ⅱ）当m=1时,求；

（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

Answer

见解析

【解析】 （1）根据及，将减少变量，

求得，故；

（2）当m=1时既是等比数列与等差数列组成的差比数列的前n项和，

错位相减法得之：

（Ⅲ）是数列为等比数列的和；  分类讨论

解（Ⅰ）由已知，所以；…………1分

，所以，解得；

所以数列的公比；…………3分（Ⅱ）当时，，…………1分

，………………………①，

，……………………②，

②－①得，………3分

所以，

．…………5分

（Ⅲ），…………1分

因为，所以由得，………2分

注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，，

所以最大值为，最小值为．…………4分

对于任意的正整数n都有，

所以，解得