Question

(10分)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程

实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程有实根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率.

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】本试题主要考查了古典概型概率的计算，以及分布列和数学期望的求解的综合运用。

（1）中理解本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，那么借助于使方程有实根△=b2-4c≥0，得到事件A发生的基本事件数，得到概率值。

（2）利用ξ=0，1，2的可能取值，分别得到各个取值的概率值，然后写出分布列和数学期望值

（3）分析在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，利用条件概率公式得到结论。

【解析】
（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，

满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即．

下面针对于c的取值进行讨论

当c=1时，b=2，3，4，5，6；  当c=2时，b=3，4，5，6；

当c=3时，b=4，5，6；        当c=4时，b=4，5，6；

当c=5时，b=5，6；           当c=6时，b=5，6，

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，

因此方程有实根的概率为

（II）由题意知用随机变量ξ表示方程实根的个数得到

ξ=0，1，2    根据第一问做出的结果得到

则，，，

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望  

（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，

这是一个条件概率，

记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，

“方程有实根”为事件N，

则，，     ∴