Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，  AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°.E为BB₁的中点，D点在AB上且DE=.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；

（Ⅱ）求三棱锥A₁－CDE的体积.

Answer

(1)见解析      （2）三棱锥A1－CDE的体积为１．                  

【解析】(1)证明线面垂直根据判断定理，只需要证明直线垂直这个平面内的两条相交直线即可.本小题可以证明CD⊥AB, CD⊥AA1即可.

(2)本小题求面积不易直接求，采用整体减去部分的作法求解.本小题可以用求解

(1)在Rt△DBE中，BE=1，DE=，∴BD=== AB，

∴  则D为AB中点,  而AC=BC， ∴CD⊥AB                     

 又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱, ∴CD⊥AA1

 又 AA1∩AB=A 且 AA1、AB Ì 平面A1ABB1

 故 CD⊥平面A1ABB1                                                      6分

（2）∵四边形A1ABB1为矩形，∴△A1AD，△DBE，△EB1A1都是直角三角形，

∴ 

    =2×2－××2－××1－×2×1=

∴  VA1－CDE =VC－A1DE = ×SA1DE ×CD= ××=1

∴  三棱锥A1－CDE的体积为１