Question

若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列，已知等方差数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）记，则当实数大于4时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由。

Answer

（1）；（2）；（3）当时，不等式对于一切的恒成立  .

【解析】本试题主要考查了数列的概念和灵活运用新的定义，解决数列的通项公式和求和问题，以及不等式的恒成立问题的综合运用

（1）利用新定义可得由，得，，∴

（2）中结合上一问的结论得到，然后利用错位相减法得到求和

（3），不等式恒成立，

即对于一切的恒成立。

∴

分离参数的思想求解k的取值范围。

【解析】
（Ⅰ）由，得，，∴

，

∵，∴

数列的通项公式为； 

（Ⅱ）

设  ①

 ②

①－②，得

∴

∴

即数列的前项和为 

（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，

即对于一切的恒成立。

设，当时，由于对称轴，且

而函数在是增函数，∴不等式恒成立，

即当时，不等式对于一切的恒成立  

解法2：，不等式恒成立，即对于一切的恒成立。

∴

∵，∴．而

∴恒成立．

故当时，不等式对于一切的恒成立．