Question

（本题12分）已知等比数列{a_n}的公比q＝3，前3项和S₃＝.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a₃，

求函数f(x)的解析式．

Answer

（1）an＝×3n－1＝3n－2.（2）f(x)＝3sin.

【解析】本试题主要是结合数列的概念得到数列的通项公式，然后结合三角函数中的性质得最值问题，从而求解得到解析式。

（1）利用等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝，结合前n项和公式解得首项，从而得到通项公式

（2）中利用第一问的结论，得到a3＝3，从而得到函数的振幅，同时把x＝代入解析式中，是的函数取得最大值，得到φ的值，从而求解得到解析式。

【解析】
(Ⅰ)由q＝3，S3＝得＝，解得a1＝. 所以an＝×3n－1＝3n－2.

(Ⅱ)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.  因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1.  又0<φ<π，故φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.