Question

已知函数

 （1）求函数的单调区间；

 （2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；

（3）证明：

①上恒成立

②

Answer

（1）上是增函数，在上是减函数   （2）.

（3）见解析

【解析】（1）利用导函数知识求出函数的单调区间；（2）利用分离常数法把恒成立问题转化为求函数最值问题；（3）利用放缩法求证不等式成立

（1）函数       …………………1分

当时，，则上是增函数       ………2分

当时，由得                

由得                 ………4分

则上是增函数，在上是减函数        ……5分

(采用列表的方式也要给满分)

（2）解法一：由（I）知时，递增，而不  

成立，故         ………7分

又由（I）知，因为恒成立，

所以,解得              …………9分

所以,实数的取值范围为.

解法二（分离变量法）：

     ……9分

  所以,实数k的取值范围为.

（3）①证明:由（2）知，当时有在恒成立，

由(1)知当时上是减函数，且，

所以,时, 恒成立,

即上恒成立 .          ……………………11分

②证明：令，则，即，从而，

所以

即