Question

(本小题满分14分)

已知椭圆E的两个焦点分别为F₁(－1,0), F₂ (1,0), 点(1, )在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程

(2)若椭圆E上存在一点 P, 使∠F₁PF₂=30°, 求△PF₁F₂的面积.

Answer

(1)  

(2) =12(2－)=3(2－)

【解析】(1)可以从方程角度来考虑就是知道c,然后再把点的坐标代入椭圆方程，再结合,解出a,b值来.

也可直接利用椭圆的定义椭圆上的点到两焦点的距离之和是2a,求出a,然后根据c再求出b.椭圆方程确定.

（2）根据余弦定理可求出|PF1||PF2|=12 (2－),

然后利用面积公式求解即可.

【解析】
(1)设椭圆E的方程为:  (a>b>0).

∵ c=1,  ∴      ①

点(1, )在椭圆E上, ∴     ②

由①、②得: , b2=3 , ∴ 椭圆E的方程为:  

(2) cos30°=  ,   

∴ |PF1||PF2|=12 (2－)

=12(2－)=3(2－)