Question

已知 a 为实数, = 

 (1)求导函数  

  (2)若 , 求  在 [-2, 2] 上的最大值和最小值;

  (3)若  在 (-∞, -2]和 [2, +∞) 上都是递增的,  求的取值范围.

Answer

 (1) f¢(x)=3-2ax-4.       (2) f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值为，最小值为    .     (3) [-2, 2]. 

【解析】现将=展开。再求导函数  较易；

可求出a，再求导得出单调区间，从而得出在 [-2, 2]最值；

若  在 (-∞, -2]和 [2, +∞) 上都是递增的,导函数在(-∞, -2]和 [2, +∞) 上恒为正。

解: (1)由已知 f(x)= -a-4x+4a,  …………………2分

∴f¢(x)=3-2ax-4.                     …………………3分

(2)由 f¢(-1)=0 得,  a=     .         …………………4分

∴f¢(x)=3-x-4.                      …………………5分

由 f¢(x)=0 得,  x=-1 或     .         …………………7分

∵f(-2)=0, f(-1)=   , f()=  ,  f(2)=0,                                 ………………9分

∴ f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值为，最小值为    .                             …………………10分

(3)∵ f¢(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4),  

∴由题设得 f¢(-2)≥0 且 f¢(2)≥0 .  …………………12分

∴8+4a≥0 且 8-4a≥0. 

∴-2≤a≤2. 

故 a 的取值范围是 [-2, 2].